Question

【題目】如圖1，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點（A左B右），與y軸交于點C．其頂點為D．

（1）求點D的坐標和直線BC對應的一次函數關系式；

（2）若正方形PQMN的一邊PQ在線段AB上，另兩個頂點M、N分別在BC、AC上，試求M、N兩點的坐標；

（3）如圖1，E是線段BC上的動點，過點E作DE的垂線交BD于點F，求DF的最小值．

（圖1） （圖2）

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）．

【解析】

（1）將二次函數的解析式化為頂點式即可得點D的坐標；先根據二次函數的解析式可求出B、C的坐標，再利用待定系數法可求出直線BC的一次函數關系式；

（2）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，從而可設點M、N的坐標，再根據正方形的性質（四邊相等）列出等式求解即可；

（3）先利用待定系數法求出直線BD的解析式，再設點E、F的坐標，利用待定系數法分別求出直線DE、EF的一次項系數，然后利用列出等式并化簡，得出DF的表達式，由此求解即可得．

（1）

則頂點D的坐標為

當時，，解得或

則點A的坐標為，點B的坐標為

當時，，則點C的坐標為

設直線BC對應的一次函數關系式為

將點，代入得：，解得

則直線BC對應的一次函數關系式為；

（2）設直線AC的解析式為

將點，代入得：，解得

則直線AC的解析式為

設點M的坐標為，點N的坐標為

四邊形PQMN是正方形，PQ在線段AB上

則有，解得

則點M的坐標為，點N的坐標為；

（3）設直線BD的解析式為

將點，代入得：，解得

則直線BD的解析式為

設點E的坐標為，點F的坐標為，則，

由題意，分以下兩種情況：

①當時，則，此時點E恰好在拋物線的對稱軸上

點F的縱坐標為2，即，解得

則

②當且時

設直線DE的解析式為

將點，代入得：，解得

設直線EF的解析式為

將點，代入得：，解得

，即

整理得：

則

且

且

對于任意兩個正數都有

，即，當且僅當時，等號成立

設（且）

則，當且僅當，即時，等號成立

因此，此時DF的最小值為

又

綜上，DF的最小值為．