Question

【題目】已知拋物線

（1）求證：拋物線與軸總有兩個不同的交點．

（2）設拋物線與軸的交點為點和點(點在點的左側)，與軸交于點．

①若為直角三角形且，點在直線上方的拋物線上，且是銳角，求的取值范圍．

②設拋物線頂點為，在拋物線上是否存在一點，使以點，，,為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①，②存在，或．

【解析】

（1）令，再根據根的判別式求解即可．

（2）①分別求出A、B、C的坐標，再根據勾股定理求得，聯立方程求出點E的坐標，根據圖象求出的取值范圍．②根據拋物線解析式可得，對稱軸為，設，根據，可得當即時，以點D、O、C為頂點才能構成等腰三角形，當時，分三種情況進行討論即可．

（1）當時，

∵

∴拋物線與x軸總有兩個不同的交點．

（2）①當時，

∴

∵A在B的左側且

∴

當時，

∴

∵

∴

即

解得

∴

聯立得

解得或

如圖

∴與拋物線的另一個交點

∵P在直線上方的拋物線上，且是銳角

∴．

②存在

∵

∴對稱軸為

設

∵

∴當即時，以點D、O、C為頂點才能構成等腰三角形

當時，分三種情況

1）若，則，即

解得

∴或

2）若，則，即

解得

∴或

3）若，則

綜上所述，在拋物線對稱軸上存在一點D，使以點DOC為頂點成等腰三角形，此時．