Question

【題目】如圖，在中， 分別是邊上的兩個動點（ 不與 重合），且保持 ，以 為邊，在點 A 的異側作正方形．

（1）試求的面積；

（2）當邊 與 重合時，求正方形的邊長；

（3）設 與正方形 重疊部分的面積為，試求關于 的函數關系式，并寫出自變量的范圍；

（4）當 是等腰三角形時，請直接寫出 的長．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）當0 <x≤2時，，當2 < x<5時，；（4）．

【解析】

（1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積．

（2）根據DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根據相似三角形對應高的比等于相似比即可求出邊DE的長度．

（3）可以分為正方形在三角形內部和不全在內部兩種情況求解，全在內部時，利用三角形相似得，求出DE，再求重疊部分正方形的面積，不全在內部時先求出長DE，再利用DG∥AH，求出寬．

（4）當△BDG是等腰三角形時，分BD＝DG，BD＝BG，DG＝BG三種情況寫出AD的長．

解：（1）過A作,

，

,

（2）令此時正方形的邊長為a，如圖

∵DE∥BC，

∴

即

,

（3）當DE＝時，由△ADE∽△ABC得，解得AD＝2，

當0 < x ≤ 2時，正方形全部在三角形內部，由得：，DE＝，

∴(0 < x ≤ 2)；

當 2 < x < 5 時，如圖，DE＝，BD=5-x

∵sin∠B=

即

∴DM=，

∴(2 < x < 5)；

（4）當△BDG是等腰三角形時，設AD＝x，當BD＝DG，

此時正方形不全部在三角形內部，

∵BD＝5x，

由（3）可知DG＝DE＝，

∴5x=

解得x=,

∴AD＝；

當DB＝BG時，BD=5-x,DG=

∵cos∠B=

即

∴BM==3-x

又DM=，

∴MG=DG-DM=-[]=2x-4

∴BG2=BM2+MG2=（3-x）2+（2x-4）2

∵DB＝BG

∴BD2=BG2,

即（5-x）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=（x=0舍去）

∴AD=；

當DG＝BG，同理DG2=BG2,

即（）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=(x=5舍去)

∴AD＝；

故AD＝，，．