Question

【題目】閱讀新知：移項且合并同類項之后，只含有偶次項的四次方程稱作雙二次方程．其一般形式為ax4＋bx2＋c＝0(a≠0)，一般通過換元法解之，具體解法是設 x2＝y，則原四次方程化為一元二次方程：ay2＋by＋c＝0，解出y之后代入x2＝y，從而求出x的值．

例如解：4x4－8x2＋3＝0

解：設x2＝y，則原方程可化為：4y2－8y＋3＝0

∵a＝4，b＝－8，c＝3

∴b2－4ac＝(－8)2－4×4×3＝16＞0

∴y＝＝

∴y1＝， y2＝

∴當y1＝時，x2＝． ∴x1＝，x2＝－；

當y1＝時，x2＝． ∴x3＝，x4＝－．

小試牛刀：請你解雙二次方程：x4－2x2－8＝0

歸納提高：

思考以上解題方法，試判斷雙二次方程的根的情況，下列說法正確的是____________(選出所有的正確答案)

①當b2－4ac≥0時，原方程一定有實數根；

②當b2－4ac＜0時，原方程一定沒有實數根；

③當b2－4ac≥0，并且換元之后的一元二次方程有兩個正實數根時，原方程有4個實數根，換元之后的一元二次方程有一個正實數根一個負實數根時，原方程有2個實數根；

④原方程無實數根時，一定有b2－4ac＜0．

Answer 1

【答案】x1＝－2，x2＝2；②③

【解析】試題分析：先設y=x2，則原方程變形為y2-2y-8=0，運用因式分解法解得y1=-2，y2=4，再把y=-2和4分別代入y=x2得到關于x的一元二次方程，然后解兩個一元二次方程，最后確定原方程的解．

根據閱讀新知和小試牛刀即可判斷①②③④．

試題解析：x4-2x2-8=0

設y=x2，則原方程變為：y2-2y-8=0．

分解因式，得（y+2）（y-4）=0，

解得，y1=-2，y2=4，

當y=-2時，x2=-2，x2+2=0，△=0-4×2＜0，此方程無實數解；

當y=4時，x2=4，解得x1=-2，x2=2，

所以原方程的解為x1=-2，x2=2．

根據閱讀新知和小試牛刀即可判斷②③；

如：x4+4x2+3=0，雖然△=b2-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化為（x2+1）（x2+3）=0，明顯，此方程無解；

所以，①④錯誤，

故答案為②③．

【方法總結】本題考查了換元法解一元二次方程：當所給方程是雙二次方程時，可考慮用換元法降次求解．