Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，1），過點A的直線l垂直于線段AB，點P是直線l上一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP翻折180°，使點C落在點D處．若以A，D，P為頂點的三角形與△ABP相似，則所有滿足此條件的點P的坐標為 ．

Answer 1

【答案】P（4,4）,p（0,﹣4）,P（ ,﹣1）,P（ ,1）
【解析】解：∵點A（2，0），點B（0，1），

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+1

∵直線l過點A（2，0），且l⊥AB，

∴直線L的解析式為；y=2x﹣4，

∠BAO+∠PAC=90°，

∵PC⊥x軸，

∴∠PAC+∠APC=90°，

∴∠BAO=∠APC，

∵∠AOB=∠ACP，

∴△AOB∽△PCA，

∴ = ，

∴ = = ，

設AC=m，則PC=2m，

∵△PCA≌△PDA，

∴AC=AD，PC=PD，

∴ = = ，

如圖1：當△PAD∽△PBA時，

則 = ，

則 = = ，

∵AB= = ，

∴AP=2 ，

∴m2+（2m）2=（2 ）2，

∴m=±2，

當m=2時，PC=4，OC=4，P點的坐標為（4，4），

當m=﹣2時，如圖2，

PC=4，OC=0，P點的坐標為（0，﹣4），

如圖3，若△PAD∽△BPA，

則 = = ，

PA= AB= ，

則m2+（2m）2=（ ）2，

∴m=± ，

當m= 時，PC=1，OC= ，P點的坐標為（ ，1），

當m=﹣ 時，如圖4，PC=1，OC= ，P點的坐標為（ ，﹣1）；

所以答案是：P（4，4），p（0，﹣4），P（ ，﹣1），P（ ，1）．

【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題），需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．