Question

【題目】如圖，中，是邊上一點，，，，點，分別是，邊上的動點，且始終保持．

（1）求的長；

（2）若四邊形為平行四邊形時，求的周長；

（3）將沿它的一條邊翻折，當翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形時，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）BP=或３或．

【解析】

（1）先根據題意推出△ABE是等腰直角三角形，再根據勾股定理計算即可．

（2）首先要推出△CPQ是等腰直角三角形，再根據已知推出各邊的長度，然后相加即可．

（3）首先證明△BPE∽△CQP，然后分三種情況討論，分別求解，即可解決問題．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∵BE=CD=3，

∴AB=BE=3，

又∵∠A=45°，

∴∠BEA=∠A=45°，∠ABE=90°，

根據勾股定理得AE==；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，∠A=∠C=45°，

又∵四邊形ABPE是平行四邊形，

∴BP∥AB，且AE=BP，

∴BP∥CD，

∴ED=CP=，

∵∠EPQ=45°，

∴∠PQC=∠EPQ=45°，

∴∠PQC=∠C=45°，∠QPC=90°，

∴CP=PQ=，QC=2，

∴△CPQ的周長=2+2；

（３）解：如圖，作BH⊥AE于H，連接BE．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=3，AD=BC=AE+ED=，∠A=∠C=45°，

∴AH=BH=，HE=AD－AH－DE=

∴BH=EH，

∴∠EBH=∠HEB=∠EBC=45°，

∴∠EBP=∠C=45°，

∵∠BPQ=∠EPB+∠EPQ=∠C+∠PQC，∠EPQ=∠C，

∴∠EPB=∠PQC，

∴△BPE∽△CQP．

①當QP=QC時，則BP=PE，

∴∠EBP=∠BEP=45°，則∠BPE=90°，

∴四邊形BPEF是矩形，

BP=EF=，

②當CP=CQ時，則BP=BE=3，

③當CP=PQ時，則BE=PE=3，∠BEP=90°，

∴△BPE為等腰三角形，

∴BP2=BE2+PE2，

∴BP=，

綜上：BP=或3或．