Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（0，3）、（7，0），點C在第一象限，AC∥x軸，∠OBC=45°．

（1）求點C的坐標；
（2）點D在線段AC上，CD=1，點E的坐標為（n，0），在直線DE的右側作∠DEG=45°，直線EG與直線BC相交于點F，設BF=m，當n＜7且n≠0時，求m關于n的函數解析式，并直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

作CM⊥x軸于點M，如圖1，

則∠CMB=∠AOM=90°，

∴CM∥AO，

∵AC∥x軸，

∴四邊形AOMC是矩形，

∴CM=AO=3，AC=OM，

∵∠OBC=45°，

∴MB=MC=3，

∴OM=7﹣3=4，

∴C（4，3）；

（2）

解：①當點E在線段OB上時，即當0＜n＜7時，如圖2，連接OD，

∵CD=1，

∴AD=3=AO，

∴∠AOD=∠ADO=45°=∠DOB=∠OBC，

∵∠OEF=∠EFB+∠EBF，即∠OED+∠DEF=∠EFB+∠EBF，

∴∠OED=∠EFB，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m=﹣ n2+ n；

②當點E在線段BO的延長線上時，即n＜0時，連接OD，如圖3，

由（1）知∠DOB=∠OBC，

∴∠DOE=∠EBF，

∵∠DEF=45°=∠OBC，

∴∠DEO+∠BEF=∠BFE+∠BEF，

∴∠DEO=∠BFE，

∴△DOE∽△EBF，

∴ = ，即 = ，

∴m= n2﹣ n；

綜上可知m與n的函數關系式為m= ．

【解析】（1）作CM⊥x軸于點M，利用等腰直角三角形和矩形的性質可求得OM和CM的長，可求得C點坐標；（2）①當E在線段OB上時，連接OD，利用條件可證得△DOE∽△EBF，利用相似三角形的性質可得到m與n之間的關系；②當點E在線段BO的延長線上時，同樣可證得△DOE∽△EBF，可得到m與n之間的關系．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和矩形的性質的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．