Question

【題目】已知梯形中，∥，且，，。

⑴如圖，P為上的一點，滿足∠BPC=∠A，求AP的長；

⑵如果點P在邊上移動（點P與點不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點E，同時交直線DC于點。

①當點在線段DC的延長線上時，設，CQ=y，求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】⑴的長1或4;⑵① ;②或3-

【解析】

（1）當∠BPC=∠A時，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關于AP，PD，AB，CD的比例關系式，AB，CD的值題中已經告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關系式中求出AP的長．
（2）①與（1）的方法類似，只不過把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關于AB，AP，PD，DQ的比例關系式，得出x，y的函數關系式．
②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據CE的長，用AP表示出PD，然后根據PD，DQ，QC，CE的比例關系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進行求解即可．

解：⑴，，

，

又梯形中，，，

，

，

設，，

，

解得，，

的長1或4;

⑵①由⑴易得（如圖），

，即，

②當CE=1時，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴,

或，

，

解得：AP=2或3.