Question

【題目】如圖，在等腰中，，，是邊上的中點，點、分別在、邊上運動，且保持．連接、、．在此運動變化的過程中，下列結論：①是等腰直角三角形；②長度的最小值為4；③四邊形的面積保持不變；④面積的最大值為8．其中正確的結論是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接CF,根據全等三角形判定和性質可得①正確；由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小，可得②錯誤；由△ADF≌△CEF，得S△CEF=S△ADF,S四邊形CEFD=S△AFC，得③正確；當△CEF面積最大時，由②③知，此時△DEF的面積最小，此時S△CEF=S四邊形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF，可得④正確.

連接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，是邊上的中點

∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，

∴△EDF是等腰直角三角形.

因此①正確.

由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；

即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=BC=4.

∴DE==DF=4；

因此②錯誤.

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四邊形CEFD=S△AFC，

因此③正確.

當△CEF面積最大時，由②③知，此時△DEF的面積最小.

此時S△CEF=S四邊形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8；

因此④正確.

故選：C.