Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣1），點(diǎn)C（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)B在第四象限，△AOB和△BCD都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC的上方，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，連接AD，請(qǐng)證明△ABD≌△OBC；
（2）如圖2，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在AC的上方，∠D=90°，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（3）如圖3，四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，點(diǎn)E在AC的上方，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)（m＞1）時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），請(qǐng)?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△AOB和△BCD都是等邊三角形，

∴AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，

∴∠ABD=∠OBC，

在△ABD和△OBC中，

，

∴△ABD和△OBC；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H，延長(zhǎng)HD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥HD，垂足為G．

∴∠AHD=∠CGD=90°，

∵△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，

∴∠ADC=90°，AD=CD，

∴∠ADH+∠CDG=90°，

∵∠ADH+∠DAH=90°，

∴∠CDG=∠DAH，

∵在△AHD和△DGC中，

，

∴△AHD≌△DGC（AAS），

∴DH=CG=OH，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），

∴y與x之間的關(guān)系是y=x

（3）解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，

∵四邊形ACEF是菱形，且∠ACE=90°，

∴AC=CE，∠ACO+∠ECO=90°，

∵∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠ECO=∠CAO，

在△EMC和△COA中，

，

∴△EMC≌△COA（AAS），

∴MC=OA=1，EM=OC，

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），

∴EM=OC=x+1，

∴y與x之間的關(guān)系是y=x+1．

【解析】（1.）由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=OB，BD=BC，∠ABO=∠DBC=60°，從而判斷出∠ABD=∠OBC即可； （2.）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸，垂足為H，延長(zhǎng)HD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥HD，垂足為G，由△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，得出∠ADC=90°，AD=CD，∠CDG=∠DAH，從而得到△AHD≌△DGC（AAS），根據(jù)DH=CG=OH，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），得出y與x之間的關(guān)系是y=x；
（3.）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸，垂足為M，則∠EMC=∠COA=90°，再利用正方形的性質(zhì)即可得出△EMC≌△COA（AAS），得到MC=OA=1，EM=OC，EM=OC=x+1，進(jìn)而得出y與x之間的關(guān)系是y=x+1．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．