Question

【題目】在矩形中，，，以點為坐標原點，所在的直線為軸，建立直角坐標系．

(Ⅰ)將矩形繞點逆時針旋轉至矩形，如圖1，經過點，求旋轉角的大小和點，的坐標；

(Ⅱ)將圖1中矩形沿直線向左平移，如圖2，平移速度是每秒1個單位長度．

①經過幾秒，直線經過點；

②設兩矩形重疊部分的面積為，運動時間為，寫出重疊部分面積與時間之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)旋轉角；，；(Ⅱ)①；②（），（）.

【解析】

(Ⅰ)根據OA=4，OC=2，BC=OA，可求得BC=2CD，則可以求出∠BCD=60°，即可求出旋轉角∠OCD的度數；作DM⊥CB于點M，FN⊥CB于點N，在Rt△CDM中，根據三角函數即可求得DM，CM的長，從而求得D的坐標，在Rt△CFN中，根據三角函數即可求得CN，FN的長，即得F的坐標；(Ⅱ)①如圖2，HB即為直線EF經過點B時移動的距離．在Rt△C′DH中利用三角函數即可求得DH，從而得到HE，再在△HEB中，利用三角函數求得BH，即可求得時間．

②先根據三角函數求出C′H的長，重合的部分可能是四邊形，也可能是三角形，分兩種情況進行討，分別原t表示出CC′、CG、CH和C′G的長，利用面積公式即可得S與t的關系式.

(Ⅰ)如圖1，在矩形中，OA=4，，

∴在中，，即

∴旋轉角．

作于點，于點．

在中，，

∴點到軸的距離為．

在中，，，

∴點到軸的距離為4．

故，．

(Ⅱ)①如圖2，即為直線經過點時移動的距離．

在中，，

∴．

在中，，則．

∵平移速度是每秒1個單位長度，

∴直線經過點時所需的時間秒．

②過點作于點．

在中，，．

在中，．

當時，重疊部分面積為四邊形，如圖2．

，，．

當時，重疊部分的面積為，如圖3．

，，．

∴重疊部分的面積．