Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：
如果矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形．例如，下圖中的矩形A1B1C1D1 ， A2B2C2D2 ， AB3C3D3都是點A，B，C的覆蓋矩形，其中矩形AB3C3D3是點A，B，C的最優覆蓋矩形．


（1）已知A( 2，3)，B(5，0)，C( ， 2)．
①當 時，點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為；
②若點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為40，則t的值為；
（2）已知點D(1，1)，點E( ， )，其中點E是函數 的圖像上一點，⊙P是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形的外接圓，求出⊙P的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）35.；t=-3或6.
（2）

解：如圖1，

OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形，

∵點D（1，1），

∴OD所在的直線表達式為y＝x，

∴點E的坐標為（2，2），

∴OE=，

∴⊙H的半徑r ＝.

如圖2，

∵當點E的縱坐標為1時，1＝，解得x＝4，

∴OE=，

∴⊙H的半徑r =，

∴r．

【解析】此題考查反比例函數圖象和性質和圓的知識的綜合應用，正確理解最優覆蓋矩形定義是解題關鍵，綜合性強，有一定難度.