Question

【題目】某廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件，已知A產(chǎn)品每件可獲利潤(rùn)400元，B產(chǎn)品每件可獲利潤(rùn)500元，其中規(guī)定生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量不超過(guò)A產(chǎn)品數(shù)量的2倍，設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x(件)，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的獲利總額為y(元)

（1）寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）該廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少臺(tái)，才能使獲利總額最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，A產(chǎn)品生產(chǎn)成本下降了m(0＜m＜200)元且最多生產(chǎn)60件，B產(chǎn)品生產(chǎn)成本不變，請(qǐng)根據(jù)以上信息，設(shè)計(jì)出該廠生產(chǎn)100件A、B兩種產(chǎn)品獲利最多的生產(chǎn)方案．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣100x+50000；（2）該廠生產(chǎn)A種產(chǎn)品為34臺(tái)、B種產(chǎn)品為66臺(tái)時(shí)，才能使獲利總額最大，最大利潤(rùn)是46600元；（3）當(dāng)0＜m＜100時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品34臺(tái)，B種產(chǎn)品66臺(tái)可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)m=100時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品在34到60臺(tái)，B種產(chǎn)品與A種產(chǎn)品正好100臺(tái)，可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)100＜m＜200時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品60臺(tái)，B種產(chǎn)品40臺(tái)可以獲得最大利潤(rùn)．

【解析】

（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)可以求得y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)題意可以求得獲利總額最大時(shí)生產(chǎn)A和B各多少臺(tái)，并求得最大利潤(rùn)；

（3）利用分類討論的方法可以求得各種情況下的最大利潤(rùn)，并寫出相應(yīng)的方案．

（1）由題意可得：

y=400x+500(100﹣x)=﹣100x+50000，

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣100x+50000；

（2）∵規(guī)定生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量不超過(guò)A產(chǎn)品數(shù)量的2倍，

∴100﹣x≤2x，

解得：x，

∵y=﹣100x+50000，

∴當(dāng)x=34時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=﹣100×34+50000=46600，

100﹣x=66，

答：該廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品分別為34臺(tái)、66臺(tái)時(shí)，才能使獲利總額最大，最大利潤(rùn)是46600元；

（3）由題意可得：

y=(400+m)x+500(100﹣x)=(m﹣100)x+50000，

當(dāng)0＜m＜100時(shí)．

∵x≤60且x為整數(shù)，

∴當(dāng)x=34時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=34m+46600＜50000，

100﹣x=66；

當(dāng)m=100時(shí)，y的最大值為50000；

當(dāng)100＜m＜200時(shí)．

∵x≤60且x為整數(shù)，

∴當(dāng)x=60時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=60m+44000＞50000，

100﹣x=40，

答：當(dāng)0＜m＜100時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品34臺(tái)，B種產(chǎn)品66臺(tái)可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)m=100時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品在34到60臺(tái)，B種產(chǎn)品與A種產(chǎn)品正好100臺(tái)，可以獲得最大利潤(rùn)；當(dāng)100＜m＜200時(shí)，生產(chǎn)A種產(chǎn)品60臺(tái)，B種產(chǎn)品40臺(tái)可以獲得最大利潤(rùn)．