Question

【題目】已知關于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2+2k＝0．

（1）求證：k取任何實數值，方程總有不相等的實數根；

（2）若等腰△ABC的周長為14，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）k=4 或．

【解析】

(1)、根據題意得出a、b、c的值，然后求出△=b2-4ac的值，從而得出方程的解的個數；(2)、首先根據方程的解法求出x1=k，x2=k+1，設b=k，c=k+2，根據等腰三角形的性質進行分類討論，從而得出k的值．

(1)、證明: ∵a=1，b=-2（k+1），c=k2+2k，∴△=b2-4ac=[-2（k+1）]2-4（k2+2k）=4＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

(2)、解：原方程x2－2(k＋1)x＋k2+2k＝0．解得：x1=k，x2=k+1,

∵b,c恰好是方程的兩個根，∴設b=k，c=k+2， ∵方程有兩個不相等的實數根；∴b≠c，

①、當b為腰時，則2b+c=14，∵c-b=2， ∴b=4,c=6， 即k=4

②、當c為腰時，則2c+b=14，∵c-b=2， ∴b=，c=， 即k=

綜上所述：k=4 或．