Question

【題目】一個四位數，若首位和末位都是1，稱這樣的數為“首尾雙一數”，例如：1231，1581，1941等都是“首尾雙一數”．

（1）證明：一個“首尾雙一數”與它去掉首位和末位后得到的兩位數的3倍的差能被7整除；

（2）給定一個“首尾雙一數”n，記D（n）＝，求滿足D（n）是完全平方數，且n的所有位數上的數字之和為偶數的所有n．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）滿足條件的n為1221或1971．

【解析】

（1）設出“首尾雙一數”，進而表示出它，以及去掉首位和末位得到的兩位數，即可得出結論；

（2）設出“首尾雙一數”，進而得出D（n）＝99+10a+b，再判斷出D（n）的范圍，利用完全平方數，即可求出n，最后判斷即可得出結論．

解：（1）設“首尾雙一數”為，（0＜a≤9，0≤b≤9的整數），

則“首尾雙一數”為1000+100a+10b+1＝1001+100a+10b，

去掉首位和末位后得到的兩位數為10a+b，

∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）＝1001+100a+10b﹣30a﹣3b＝1001+70a+7b＝7（143+10a+b），

∵0＜a≤9，0≤b≤9的整數，

∴143+10a+b為整數，

∴1001+100a+10b﹣3（10a+b）能被7整除，

即：一個“首尾雙一數”與它去掉首位和末位后得到的兩位數的3倍的差能被7整除；

（2）設一個“首尾雙一數”n為，（0≤a≤9，0≤b≤9的整數），則n＝1001+100a+10b，

∴D（n）＝＝＝99+10a+b，

∵0≤a≤9，0≤b≤9的整數），

∴99≤99+10a+b≤198，

∴①99+10a+b＝100，

∴10a+b＝1，

∴a＝0，b＝1，

∴n＝1011，

而1+0+1+1＝3是奇數，不是偶數，不符合題意，

②99+10a+b＝121，

∴10a+b＝22，

∴a＝2，b＝2，

∴n＝1221，

而1+2+2+1＝6是偶數，符合題意，

③99+10a+b＝144，

∴10a+b＝45，

∴a＝4，b＝5，

∴n＝1451，

而1+4+5+1＝11是奇數，不是偶數，不符合題意，

④99+10a+b＝169，

∴10a+b＝70，

∴a＝7，b＝0，

∴n＝1701，

而1+7+0+1＝9是奇數，不是偶數，不符合題意，

⑤99+10a+b＝196，

∴10a+b＝97，

∴a＝9，b＝7，

∴n＝1971，

而1+9+7+1＝318是偶數，符合題意，

即：滿足條件的n為1221或1971．