Question

【題目】綜合與實踐：折紙中的數學

問題情境：

在矩形中，＝12，點、分別是、的中點，點、分別在、上，且＝，將△沿折疊，點的對應點為點，將△沿折疊，點的對應點為點Q，且點、均落在矩形的內部（如圖①）．

數學思考：

（1）判斷與是否平行，并說明理由；

（2）當長度是多少時，存在點，使四邊形是有一個內角為60°的菱形（如圖②）？直接寫出的長度及菱形的面積．

Answer 1

【答案】（1）平行，證明見解析；（2）AB= =6，菱形的面積=

【解析】

（1）延長NQ交AD的延長線于H．首先證明△EAM≌△FCN，進一步得出∠AMP=∠QNC，從而可證明∠AMP=∠AHN，由此得出結論；

（2）由折疊得到PM=6，由直角三角形的性質得AO、PO的長，再根據菱形的性質得PQ，MN的長，從而解決問題．

如圖中，延長NQ交AD的延長線于H．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠C=90°，

∵點M，N分別是AD，BC的中點，

∴AM=NC，

∴PM=NQ，

∵AE=CF，

∴△EAM≌△FCN（SAS），

∴∠AME=∠CNF，

∵∠AME=∠EMP，∠CNF=∠FNQ，

∴∠AMP=∠QNC，

∵AD∥BC，

∴∠AHN=∠CNH，

∴∠AMP=∠AHN，

∴PM∥NH，即PM//NQ；

(2) 連接MN、PQ相交于點O，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，AD=12，點M是AD的中點，

∴AM=6，

由折疊得，PM=AM=6，

∵四邊形PNQM是菱形，且∠MPN=60°，

∴∠MPO=30°，MN⊥PQ

∴MO=3，PO=

∴AB=MN=2MO=6，PQ=2PO=6

∴菱形的面積=．