Question

【題目】如圖，直線y= x﹣4分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別是線段OA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OB上一動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）

A.（0，﹣1）
B.（0，﹣2）
C.（0，﹣3）
D.（0，﹣4）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′，連接CD′交y軸于點(diǎn)P，此時PC+PD取最小值，如圖所示．

當(dāng)x=0時，y= x﹣4=﹣4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣4）；

當(dāng)y= x﹣4=0時，x=6，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．

∵點(diǎn)C、D分別是線段OA、AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣2）．

∵點(diǎn)D、D′關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）．

（方法一）設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，

將C（3，0）、D′（﹣3，﹣2）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直線CD′的解析式為y= x﹣1．

當(dāng)x=0時，y= x﹣1=﹣1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

（方法二）∵點(diǎn)D、D′關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣1）．

故選A．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的軸對稱-最短路線問題，需要了解已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．