Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（0，5）、（0，2）、（4，5），直線l的解析式為y＝kx+2﹣4k（k＞0）．

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，求一次函數(shù)的解析式；

（2）通過計(jì)算說明：不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)C；

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)M為直線l上的點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在x軸上方的點(diǎn)N，使以點(diǎn)O、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)M為或或．

【解析】

（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出k的值，即可求解；

（2）由題意可得點(diǎn)C（4，2），當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4k+2﹣4k＝2，則可得不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)C；

（3）分OA為邊，OA為對(duì)角線兩種情況討論，由菱形的性質(zhì)可求解．

解：（1）∵直線l經(jīng)過原點(diǎn)，

∴把點(diǎn)（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，

得：2﹣4k＝0，

解得：，

∴一次函數(shù)的解析式為：；

（2）由題意可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），

當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4k+2﹣4k＝2，

∴不論k為何值，直線l總經(jīng)過點(diǎn)C；

（3）設(shè)點(diǎn)M（x，x）

①以OA為菱形的邊，此時(shí)，OM＝OA＝5，

∴

∴x＝±2，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；

②以OA為菱形的一條對(duì)角線，

此時(shí)MN垂直平分OA，

則x＝

∴x＝5

則M的坐標(biāo)為；

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)M為或或．