Question

【題目】在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C為 (－1，0)．如圖17所示，B點在拋物線圖象上，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點橫坐標為－3．

（1）求證：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直線的函數關系式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，）

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質，平角定義，直角三角形兩銳角的關系，可由AAS證得。

（2）求出點B的坐標，由點B、C的坐標，用待定系數法可求BC所在直線的函數關系式。

（3）分點C為直角頂點和點A為直角頂點兩種情況討論即可。

解：（1）證明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠OAC。

∵△ABC為等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。

在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，

∴△BDC≌△COA（AAS）。

（2）∵C點坐標為 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。

∵B點橫坐標為－3，∴B點坐標為 (－3，1)。

設BC所在直線的函數關系式為y＝kx＋b，

∴，解得。∴BC所在直線的函數關系式為y＝－x－。

（3）存在 。

∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴對稱軸為直線x＝－。

若以AC為直角邊，點C為直角頂點，對稱軸上有一點P1，使CP1⊥AC，

∵BC⊥AC，∴點P1為直線BC與對軸稱直線x＝－的交點。

由題意可得：， 解得，。∴P1（－，－）。

若以AC為直角邊，點A為直角頂點，對稱軸上有一點P2，使AP2⊥AC，

則過點A作A P2∥BC，交對軸稱直線x＝－于點P2，

∵CD＝OA，∴A（0，2）。

設直線AP2的解析式為：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。

∴直線AP2的解析式為：y＝－x＋2。

由題意可得：，解得，。∴P2（－，）。

∴P點坐標分別為P1（－，－）、P2（－，）。