Question

【題目】在平面直角坐標系中，某個函數圖象上任意兩點的坐標分別為（﹣t，y1）和（t，y2）（其中t為常數且t＞0），將x＜﹣t的部分沿直線y＝y1翻折，翻折后的圖象記為G1；將x＞t的部分沿直線y＝y2翻折，翻折后的圖象記為G2，將G1和G2及原函數圖象剩余的部分組成新的圖象G．

例如：如圖，當t＝1時，原函數y＝x，圖象G所對應的函數關系式為y＝．

（1）當t＝時，原函數為y＝x+1，圖象G與坐標軸的交點坐標是　 ．

（2）當t＝時，原函數為y＝x2﹣2x

①圖象G所對應的函數值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是　 ．

②圖象G所對應的函數是否有最大值，如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由．

（3）對應函數y＝x2﹣2nx+n2﹣3（n為常數）．

①n＝﹣1時，若圖象G與直線y＝2恰好有兩個交點，求t的取值范圍．

②當t＝2時，若圖象G在n2﹣2≤x≤n2﹣1上的函數值y隨x的增大而減小，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）①﹣≤x≤1或x≥；②圖象G所對應的函數有最大值為；（3）①；②n≤或n≥．

【解析】

（1）根據題意分別求出翻轉之后部分的表達式及自變量的取值范圍，將y=0代入，求出x值，即可求出圖象G與坐標軸的交點坐標；

（2）畫出函數草圖，求出翻轉點和函數頂點的坐標，①根據圖象的增減性可求出y隨x的增大而減小時，x的取值范圍，②根據圖象很容易計算出函數最大值；

（3）①將n＝﹣1代入到函數中求出原函數的表達式，計算y=2時，x的值.據（2）中的圖象，函數與y=2恰好有兩個交點時t大于右邊交點的橫坐標且-t大于左邊交點的橫坐標，據此求解.

②畫出函數草圖，分別計算函數左邊的翻轉點A，右邊的翻轉點C，函數的頂點B的橫坐標（可用含n的代數式表示），根據函數草圖以及題意列出關于n的不等式求解即可.

（1）當x＝時，y＝，

當x≥時，翻折后函數的表達式為：y＝﹣x+b，將點（，）坐標代入上式并解得：

翻折后函數的表達式為：y＝﹣x+2，

當y＝0時，x＝2，即函數與x軸交點坐標為：（2，0）；

同理沿x＝﹣翻折后當時函數的表達式為：y＝﹣x，

函數與x軸交點坐標為：（0，0），因為所以舍去.

故答案為：（2，0）；

（2）當t＝時，由函數為y＝x2﹣2x構建的新函數G的圖象，如下圖所示：

點A、B分別是t＝﹣、t＝的兩個翻折點，點C是拋物線原頂點，

則點A、B、C的橫坐標分別為﹣、1、，

①函數值y隨x的增大而減小時，﹣≤x≤1或x≥，

故答案為：﹣≤x≤1或x≥；

②函數在點A處取得最大值，

x＝﹣，y＝（﹣）2﹣2×（﹣）＝，

答：圖象G所對應的函數有最大值為；

（3）n＝﹣1時，y＝x2+2x﹣2，

①參考（2）中的圖象知：

當y＝2時，y＝x2+2x﹣2＝2，

解得：x＝﹣1±，

若圖象G與直線y＝2恰好有兩個交點，則t＞﹣1且-t>,

所以；

②函數的對稱軸為：x＝n，

令y＝x2﹣2nx+n2﹣3＝0，則x＝n±，

當t＝2時，點A、B、C的橫坐標分別為：﹣2，n，2，

當x＝n在y軸左側時，（n≤0），

此時原函數與x軸的交點坐標（n+，0）在x＝2的左側，如下圖所示，

則函數在AB段和點C右側，

故：﹣2≤x≤n，即：在﹣2≤n2﹣2≤x≤n2﹣1≤n，

解得：n≤；

當x＝n在y軸右側時，（n≥0），

同理可得：n≥；

綜上：n≤或n≥．