Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；

（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；

（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）如答圖1，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F。

由已知得：BF=OE=2，∴。

∴點B的坐標是（，2）。

設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有

，解得。

∴直線AB的解析式是。

（2）∵△ABD由△AOP旋轉得到，

∴△ABD≌△AOP。∴AP=AD，∠DAB=∠PAO。

∴∠DAP=∠BAO=60°。∴△ADP是等邊三角形。

∴。

如答圖2，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH。

在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，

∴BG=BDcos60°=．DG=BDsin60°=。

∴OH=EG=，DH=。

∴點D的坐標為（，）。

（3）存在。

假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于。

設點P為（t，0），下面分三種情況討論：

①當t＞0時，如答圖2，BD=OP=t，DG=t，∴DH=2+t。

∵△OPD的面積等于，∴，

解得（舍去）。

∴點P1的坐標為（，0）。

②∵當D在x軸上時，如答圖3，

根據銳角三角函數求出BD=OP=，

∴當＜t≤0時，如答圖1，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴GH=BF=2﹣（t）=2+t。

∵△OPD的面積等于，∴，解得。

∴點P2的坐標為（，0），點P3的坐標為（，0）。

③當t≤時，如答圖4，BD=OP=﹣t，DG=t，

∴DH=t﹣2。

∵△OPD的面積等于，

∴，解得（舍去）。

∴點P4的坐標為（，0）。

綜上所述，點P的坐標分別為P1（，0）、P2（，0）、P3（，0）、

P4（，0）。

【解析】（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解。

（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BDcos60°，DG=BDsin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標。

（3）分三種情況進行討論：

①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；

②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即＜t≤0時

③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤時。

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。