Question

已知：如圖，等邊三角形ABD與等邊三角形ACE具有公共頂點A，連接CD，BE，交于點P．
（1）觀察度量，∠BPC的度數為

120°

．（直接寫出結果）
（2）若繞點A將△ACE旋轉，使得∠BAC=180°，請你畫出變化后的圖形．（示意圖）
（3）在（2）的條件下，求出∠BPC的度數．

Answer 1

分析：（1）∠BPC的度數為120°，理由為：由△ABD與△ACE都是等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得出三角形DAC與三角形BAE全等，由全等三角形的對應角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性質，等量代換即可得到所求；
（2）作出相應的圖形，如圖所示；
（3）解法同（1），求出∠BPC的度數即可．

解答：解：（1）∠BPC的度數為120°，理由為：
證明：∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠ADC+∠CDB=60°，
∴∠ABE+∠CDB=60°，
∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相應的圖形，如圖所示；
（3）∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，
∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，外角性質，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．