Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC邊上取點O畫圓，使⊙O經過A、B兩點，下列結論中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延長BC交⊙O與D，則A、B、D是⊙O的三等分點；④以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切.正確的序號是______.

Answer 1

【答案】.②③④

【解析】

連接OB，可得∠ABO＝30°，則∠OBC＝30°，根據三角函數cos∠OBC＝，則BC＝OB，根據直角三角形的性質得OC＝OB＝OA，根據垂徑定理，得直線AC是弦BD的垂直平分線，則點A、B、D將⊙O的三等分，因為點O在∠ABC的角平分線上，所以點O到直線AB的距離等于OC的長.

解：連接OB，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠ABO，

∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠A＝30°，

∴∠OBC＝30°，

∵cos∠OBC＝，

∴BC＝OB，

即BC＝OA，

故①錯誤，

∵∠OBC＝30°，

∴OC＝OB＝OA，

即OA＝2OC，

故②正確；

延長BC交⊙O于D，

∵AC⊥BD，

∴AD＝AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∴＝＝，

∴點A、B、D將⊙O的三等分；

故③正確；

∵∠ABO＝∠OBC＝30°，

∴點O在∠ABC的角平分線上，

∴點O到直線AB的距離等于OC的長，

即以O為圓心，以OC為半徑的圓與AB相切.

故④正確.

故答案為：②③④.