Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

（3）當線段BE為何值時，線段AM最短，最短是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3時，AM最短為.

【解析】

（1）由AB=AC，根據等邊對等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得△ABE∽△ECM；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；

（3）首先設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，繼而求得AM的值，利用二次函數的性質，即可求得線段AM的最小值．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B．

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；

（2）能．

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；

①當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1；

②當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA．

∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B．

∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=．

綜上所述：BE=1或．

（3）設BE=x．

又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴當x=3時，AM最短為．