Question

【題目】類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整． 原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G．若 =3，求 的值．

（1）嘗試探究 在圖1中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數量關系是 ， CG和EH的數量關系是 ， 的值是 ．
（2）類比延伸 如圖2，在原題的條件下，若 =m（m＞0），求 的值（用含有m的代數式表示），試寫出解答過程．
（3）拓展遷移 如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上的一點，AE和BD相交于點F．若 =a， =b，（a＞0，b＞0），則 的值是（用含a、b的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）AB=3EH；CG=2EH；
（2）解：如右圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．

∴ = =m，

∴AB=mEH．

∵AB=CD，

∴CD=mEH．

∵EH∥AB∥CD，

∴△BEH∽△BCG．

∴ =2，

∴CG=2EH．

∴ = =

（3）ab
【解析】解：（1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如右圖1所示． 則有△ABF∽△EHF，
∴ ，
∴AB=3EH．
∵ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E為BC中點，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH．
= = = ．
所以答案是：AB=3EH；CG=2EH； ．

3）如右圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴ =b，
∴CD=bEH．
又 =a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴ = = =ab，
所以答案是：ab．

【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和梯形的定義的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形才能正確解答此題．