Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），與x軸相交于另一點(diǎn)B．

（1）求：二次函數(shù)的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將拋物線以為對(duì)稱軸向右翻折后，得到一個(gè)新的二次函數(shù)，已知二次函數(shù)與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn)．點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D．點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）；
①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y₁的圖像上時(shí)，求OP的長(zhǎng).
②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)線段OC上另一個(gè)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）.過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)），若P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，兩個(gè)正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值.

Answer 1

（1），B（3，0）；（2）①；②或或或2．

解析試題分析：（1）利用二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過(guò)A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，根據(jù)DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進(jìn)而求出OP的長(zhǎng)；
②分別利用當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)，求出t的值即可．
試題解析：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），∴將（0，0），代入得出：c=0，將（1，2）代入得出：a+3=2，解得：，故二次函數(shù)解析式為：，∵圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B，∴，解得：x=0或3，則B（3，0）；
（2）①由已知可得C（6，0），如圖：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，∵DP∥AH，∴△OPD∽△OHA，∴，即，∴PD=2a，∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），∵E（3a，2a）在二次函數(shù)y₁=﹣x²+3x的圖象上，∴a=；即OP=；
②如圖1：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時(shí)，有OF+CN=6，∵直線AO過(guò)點(diǎn)（1，2），故直線解析式為：y=2x，當(dāng)OP=t，則AP=2t，∵直線AC過(guò)點(diǎn)（1，2），（6，0），代入y=ax+b，，，解得：，故直線AC的解析式為：，∵當(dāng)OP=t，QC=2t，∴QO=6﹣2t，∴GQ=，即NQ=，∴OP+PN+NQ+QC=6，則有，解得：；
如圖2：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時(shí)，有OF+CQ=6，則有，解得：；
如圖3：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時(shí)，有OP+CN=6，則有，解得：；
如圖4：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時(shí)，有OP+CQ=6，則有，解得：．故此刻t的值為：，，，．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．