Question

【題目】已知和都是等腰直角三角形，.

（1）若為上一動點時（如圖1），

①求證：.

②試求線段，，間滿足的數量關系.

（2）當點在內部時（如圖2），延長交于點.

①求證：.

②連結，當為等邊三角形時，直接寫出與的直角邊長之比.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②，理由見解析；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）①根據等腰直角三角形的性質和“SAS”證明即可；

②先證明，然后根據勾股定理說明即可；

（2）①由可證，然后利用角的和差即可求出；

②先證明△BCD≌△BEC，從而可得∠DCB=∠ECB=45°，∠DBC=∠EBC=30°，設OC=OE=x，根據勾股定理分別表示出CE和BC的長，然后求比值即可.

（1）①證明：∵和都是等腰直角三角形，，

∴， ，，

∴，

∴，

∴.

②解：∵，

∴，，

∴，

∴，即；

（2）①證明：∵和都是等腰直角三角形，，

∴由（1）易知，

∴，

∴

，

∴，即；

②∵△BDE是等邊三角形，

∴BD=BE=DE，

又∵CD=CE，BC=BC，

∴△BCD≌△BEC，

∴∠DCB=∠ECB=45°，∠DBC=∠EBC=30°，

∴BC⊥DE，

∴△COE是等腰直角三角形，

設OC=OE=x，則CE=x，BE=2OE=2x，BO=x，

∴BC=x+x，

∴.