Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2-6ax+4a+3的圖像與y軸交于點A，點B是x軸上一點，其坐標為(1，0)，連接AB,tan∠ABO=2.

（1）則點A的坐標為 ， a=;
（2）過點A作AB的垂線與該二次函數的圖像交于另一點C，求點C的坐標;
（3）連接BC，過點A作直線l交線段BC于點P，設點B、點C到l的距離分別為d1、d2 ， 求d1+d2的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）（0,2）,
（2）解：設線段AB所在直線解析式為y=kx+b，把B（1，0），A（0，2）代入得：

，解得：k=-2，b=2

所以線段AB所在直線解析式為y=-2x+2

又過點A的直線與AB垂直，故其解析式為

由（1）得 a= ，所以：y= x2+ x+2

聯立方程組，得

，解得： ，

∴點C的坐標為（4，4）

（3）解：如圖，過點A作AM⊥BC于M，過點B作BF⊥AP于F．過點D作DE⊥AP于E，則BF=d1，DE=d2． 過點C作CG⊥x軸，

則：BC=

S梯形AOGC= （AO+CG） OG= ×(2+4)×4=12

SΔABO= AOBO= ×2×1=1

SΔCBG= CGCG= ×3×4 =6

∴SΔABC=S梯形AOGC-SΔABO-SΔCBG=12-1-6=5

∴AM=5

由面積法得到AMBC=APd1+APd2，由此可得d1+d2= ，

Rt△APM中，AP≥AM，故d1+d2≤ ，

所以，d1+d2的最大值為5．

【解析】（1）令x=0，則y=4a+3，即OA=4a+3，

∵B（1，0）

∴OB=1

在RtΔABO中，tan∠ABO=2

即

解得：a= ，4a+3=2，

∴A（0，2）

由二次函數y=ax2-6ax+4a+3的圖像與y軸交于點A，得到OA=4a+3，由B點的坐標，得到OB=1，根據三角函數的關系，求出a的值，得到A點的坐標；（2）把A、B兩點的坐標代入AB所在直線解析式，求出AB所在直線的解析式；由過點A的直線與AB垂直，得到其解析式，求出點C的坐標；（3）根據勾股定理求出BC的值，求出S梯形AOGC=（AO+CG） OG，SΔABO=AOBO，SΔCBG= CGCG的值，得到SΔABC=S梯形AOGC-SΔABO-SΔCBG，得到AM的值，由面積法得到AMBC=APd1+APd2，求出d1+d2的最大值.