Question

如圖，已知A₁，A₂，A₃，…A_n是x軸上的點，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，分別過點A₁，A₂，A₃，…A_n作x軸的垂線交反比例函數y=

1

x

（x＞0）的圖象于點B₁，B₂，B₃，…B_n，過點B₂作B₂P₁⊥A₁B₁于點P₁，過點B₃作B₃P₂⊥A₂B₂于點P₂…，記△B₁P₁B₂的面積為S₁，△B₂P₂B₃的面積為S₂…，△B_nP_nB_n+1的面積為S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S_n=

n

2(n+1)

．

Answer 1

分析：由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知B₁點的坐標為（1，y₁），B₂點的坐標為（2，y₂），B₃點的坐標為（3，y₃）…B_n點的坐標為（n，y_n），把x=1，x=2，x=3代入反比例函數的解析式即可求出y₁、y₂、y₃的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n的值，故可得出結論．

解答：解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n），
∵B₁，B₂，B₃…Bn在反比例函數y=

1

x

（x＞0）的圖象上，
∴y₁=1，y₂=

1

2

，y₃=

1

3

…y_n=

1

n

，
∴S₁=

1

2

×1×（y₁-y₂）=

1

2

×1×（1-

1

2

）=

1

2

（1-

1

2

）；
S₂=

1

2

×1×（y₂-y₃）=

1

2

×（

1

2

-

1

3

）；
S₃=

1

2

×1×（y₃-y₄）=

1

2

×（

1

3

-

1

4

）；
…
S_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．
故答案為：

n

2(n+1)

．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．