Question

如圖，已知A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₂是x軸上的點，且0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，分別過點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₂作x軸的垂線交二次函數y=x²（x≥0）的圖象于點P₁，P₂，P₃，…，P₂₀₁₂，若△OA₁P₁的面積為S₁，過點P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于點B₁，記△P₁B₁P₂的面積為S₂，過點P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于點B₂，記△P₂B₂P₃的面積為S₃，…依次進行下去，最后記△P₂₀₁₁B₂₀₁₁P₂₀₁₂的面積為S₂₀₁₂₁，則

s1+s2+s3+…+s2012

等于（　　）

• A．1005

  2

• B．

  2011 2

  2

• C．1006

  2

• D．

  2013 2

  2

Answer 1

分析：解答這道題，需要找出S₁、S₂、S₃、…S_n之間的關系，通過圖示可以發現：0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，即這些直角三角形的一條直角邊是相等的，所以只需找出它們的另一條直角邊之間的關系即可；P₁A₁=1²=2-1、P₂B₁=2²-1²=2×2-1、P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1、…、P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，所以在解答

s1+s2+s3+…+s2012

時，只需應用一次等差數列的前n項和即可．

解答：解：∵0A₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₂₀₁₀A₂₀₁₁=A₂₀₁₁A₂₀₁₂=1，
即：A₁（1，0）、A₂（2，0）、A₃（3，0）、…A_n（n，0），
∴P₁A₁=1²=2-1
  P₂B₁=2²-1²=2×2-1
  P₃B₂=3²-2²=5=2×3-1
  …
  P_nB_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
∴

s1+s2+s3+…+s2012

=

1 2 ×1×(1+3+5+…+4023)

=

1 2 × (1+4023)×2012 2

=1006

2

故選C．

點評：考查了二次函數綜合題．解答此類規律型題目，關鍵是找出問題中的規律，在此題中，找出各直角三角形高之間的關系是解答題目的關鍵．另外，等差數列前n項的求和公式（S_n=

(a1+an)n

2

）需要牢記．