Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：如圖（1），一圓柱的高為5dm，底面半徑為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：

路線1：側面展開圖中的AC．如下圖（2）所示：

設路線1的長度為，則，

路線2：高線AB + 底面直徑BC．如上圖（1）所示：

設路線2的長度為，則，

∵，

∴

∴，

所以要選擇路線2較短．

（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”繼續按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：

路線1：___________________；

路線2：__________

∵ ，

∴ (填>或<) 所以應選擇路線_________(填1或2)較短.

(2)請你幫小明繼續研究:在一般情況下,當圓柱的底面半徑為r,高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．

Answer 1

【答案】（1）25+π2；49；＜；＜；1；（2）（2）當r＜，l1＜l2；當r=，l1=l2；當r＞，l1＞l2．

【解析】

（1）根據勾股定理易得路線1：l12=AC2=高2+底面周長一半2；路線2：l22=(高+底面直徑)2，然后比較即可；

（2）先分別求出l12和l22的值，進而得出l12-l22的值，然后分三種情況計算即可．

解：（1）路線1：l12=AC2=25+π2；

路線2：l22=(AB+BC)2=49．

∵l12＜l22，

∴l1＜l2，

∴選擇路線1較短．

故答案為：25+π2；49；＜；＜；1；

（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2，

l22=(AB+BC)2=(h+2r)2，

∴l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]，

當r[(π2-4)r-4h]＜0時，r＜，此時l12＜l22，即l1＜l2；

當r[(π2-4)r-4h]=0時，r=，此時l12=l22，即l1=l2；

當r[(π2-4)r-4h]＞0時，r＞，此時l12＞l22，即l1＞l2；

綜上可知：當r＜，l1＜l2；當r=，l1=l2；當r＞，l1＞l2．