Question

【題目】問題情境：如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC邊上的一個動點（點F與A，C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF，AD．

探究展示：（1）①猜想圖1中線段BF、AD的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；

②將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按順時針方向旋轉任意角度α，得到如圖2的情形，圖2中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．

變式練習：（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD、AF，請判斷線段BF、AD所在直線的位置關系，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）①結論：BF=AD，BF⊥AD；②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，證明見解析；（2）結論：BF⊥AD,證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結論；

②證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC，BF=AD，即可得出結論；

（2）證△BCF∽△ACD，推出∠CBF=∠CAD，再根據∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°從而得∠CAD+∠AHO=90°，繼而得到∠AOH=90°，得到BF⊥AD.

試題解析：（1）①結論：BF=AD，BF⊥AD；

理由：如圖，延長BF交AD于H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ACB=90°，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD=CF，∠FCD=90°，

∴∠BCF=∠ACD，

在△BCF和△ACD中，

，

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，

又∵∠BFC=∠AFH，∠CBF+∠BFC=90°，

∴∠CAD+∠AFH=90°，

∴∠AHF=90°，

∴BF⊥AD；

∴BF=AD，BF⊥AD；

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，

如圖，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD=CF，∠FCD=90°，

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，

即∠BCF=∠ACD，

在△BCF和△ACD中，

，

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，

∴∠CAD+∠AHO=90°，

∴∠AOH=90°，

∴BF⊥AD；

（2）結論：BF⊥AD．

如圖，

∵四邊形CDEF是矩形，

∴∠FCD=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠FCD

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，

即∠BCF=∠ACD，

∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，

∴ ，

∴△BCF∽△ACD，

∴∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°

∴∠CAD+∠AHO=90°，

∴∠AOH=90°，

∴BF⊥AD.