Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點為E，連結CE，點A、B、D的坐標分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點F，交線段CD于點K，點M、N分別是直線l和x軸上的動點，連結MN，當線段MN恰好被BC垂直平分時，求點N的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，過點M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A、B、D的坐標分別為（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=5，

∴點C的坐標為（5，4），

∵過點A、C、D作拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），

∴ ，

解得 ．

故拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：連結BD交對稱軸于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，

∴CD=BD，則∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，

∴∠DBC=∠CBE，

過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，

易證GH=HN，

∴點G與點M重合，

故直線BD的解析式y=﹣ x+4

根據拋物線可知對稱軸方程為x= ，

則點M的坐標為（ ， ），即GF= ，BF= ，

∴BM= = ，

又∵MN被BC垂直平分，

∴BM=BN= ，

∴點N的坐標為（ ，0）

（3）

解：過點M作直線交x軸于點P1，連結CE．

易求四邊形AECD的面積為28，四邊形ABCD的面積為20，

由“四邊形AECD的面積分為3：4”可知直線P1M必與線段CD相交，

設交點為Q1，四邊形AP1Q1D的面積為S1，四邊形P1ECQ1的面積為S2，點P1的坐標為（a，0），

假設點P在對稱軸的左側，則P1F= ﹣a，P1E=7﹣a，

由△MKQ1∽△MFP1，得 = ，

易求Q1K=5P1F=5（ ﹣a），

∴CQ1= ﹣5（ ﹣a）=5a﹣10，

∴S2= （5a﹣10+7﹣a）×4=28× ，

解得：a= ，

根據P1（ ，0），M（ ， ）可求直線P1M的解析式為y= x﹣6，

若點P在對稱軸的右側，則直線P2M的解析式為y=﹣ x+

【解析】（1）根據平行四邊形的性質可求點C的坐標，由待定系數法即可求出拋物線的解析式；（2）連結BD交對稱軸于G，過G作GN⊥BC于H，交x軸于N，根據待定系數法即可求出直線BD的解析式，根據拋物線對稱軸公式可求對稱軸，由此即可求出點N的坐標；（3）過點M作直線交x軸于點P1 ， 分點P在對稱軸的左側，點P在對稱軸的右側，兩種情況討論即可求出直線的解析式．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．