Question

如圖1，已知拋物線y=－x²+bx+c經過點A（1,0），B（－3,0）兩點，且與y軸交于點C.

(1) 求b，c的值。
(2)在第二象限的拋物線上，是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若不存在，請說明理由.
(3) 如圖2，點E為線段BC上一個動點（不與B,C重合），經過B、E、O三點的圓與過點B且垂直于BC的直線交于點F，當△OEF面積取得最小值時，求點E坐標．

Answer 1

(1) ；（2）點P坐標為(，)，最大＝；（3） (，)  .

試題分析：(1)將A、B兩點坐標代入即可求出；
(2)假設存在一點P（x，），則△PBC的面積可表示為.從而可求出△PBC的面積最大值及點P的坐標；
(3)根據題意易證，所以，當OE最小時，△OEF面積取得最小值，點E在線段BC上, 所以當OE⊥BC時，OE最小此時點E是BC中點，因此 E(，)  .
試題解析：(1)  b=－2，c=" 3"
(2)存在。理由如下：
設P點
∵
當時，   ∴最大＝ 
當時，
∴點P坐標為(，)
(3)∵∴,而, ,
∴, ∴ 
∴ 
∴當最小時，面積取得最小值.
∵點在線段上,  ∴當時，最小.
此時點E是BC中點
∴ (，).