Question

【題目】通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上述角的正對定義，解答下列問題：

(1)sad60°＝ ；

(2)對于0°＜∠A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是 ；

(3)如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值.

Answer 1

【答案】(1)1;(2) 0<sadA<2; (3) .

【解析】

（1）根據題意，判斷三角形為等邊三角形，然后根據正對的定義解答；

（2）求出0°和180°時等腰三角形底和腰的比即可；

（3）如圖，在AB上取AD＝AC，過點D作DE⊥AC于點E，連接CD，設AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，然后求出CD的長，再根據正對的定義解答即可.

解：(1)根據題意可知，當頂角為60°時，等腰三角形底角也為60°，

則該三角形為等邊三角形，

∴sad60°＝1，

故答案為1；

(2)當∠A接近0°時，sadA接近0，

當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近腰長的二倍，故sadA接近2，

故sadA的取值范圍為：0<sadA<2；

(3) 設AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，

如圖，在AB上取AD＝AC＝4a，過點D作DE⊥AC于點E，連接CD，

則DE＝AD·sinA＝4a·＝a，AE＝AD·cosA＝4a·＝a，

∴CE＝4a－a＝a，

∴在Rt△DCE中，

CD＝＝＝a，

∴sadA＝＝.