Question

【題目】如圖1所示,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象交A(1,4)，B(-4,c)兩點,

如圖2所示,點M、N都在直線AB上,過M、N分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F,設M、N的橫坐標分別為m、n,且 4 < m < 0 , n > 1 ,請探究,當m、n滿足什么關系時，ME=NE.

（1）求反比例函數及一次函數的解析式;

（2）點P是x軸上一動點,使|PA-PB|的值最大,求點P的坐標及△PAB的面積;

（3）如圖2所示,點M、N都在直線AB上,過M、N分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F,設M、N的橫坐標分別為m、n,且 , n>1,請探究,當m、n滿足什么關系時，ME=NE.

Answer 1

【答案】(1) y= ，y=x+3.;(2) P點坐標為(- ,0),S△PAB= ；(3)見解析.

【解析】（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）作B關于x軸的對稱點B′（-4，1），連接AB′并延長交x軸于P，此時|PA-PB|的值最大，求出直線AB′的解析式即可解決問題；

（3）由題意可知，M（m，m+3），N（n，n+3），E（m，），F（n，），根據ME=NF，可得m+3-=n+3-，即（m-n）（1+）=0，由此即可解決問題；

（1）把A（1，4）代入y=，可得a=4，

∴反比例函數的解析式為y=，

把B（-4，c）代入y=，得到c=-1，

∴B（-4，-1），

把A（1，4），B（-4，-1）代入y=kx+b

得到，解得，

∴一次函數的解析式為y=x+3．

（2）作B關于x軸的對稱點B′（-4，1），連接AB′并延長交x軸于P，此時|PA-PB|的值最大，

設AB′的解析式為y=k′x+b′，則有，

解得，

∴直線AB′的解析式為y=x+，

令y=0，得到x=-，

∴P（-，0），

∴S△PAB=××（4+1）=．

（3）如圖2中，

由題意可知，M（m，m+3），N（n，n+3），E（m，），F（n，），

∵-4＜m＜0，n＞1，

∴ME=m+3-，NF=n+3-，

當ME=NF時，m+3-=n+3-，

即（m-n）（1+）=0，

∵-4＜m＜0，n＞1，

∴m≠n，1+=0，

∴mn=-4，

∴當mn=-4時，ME=NF．