Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，動點P從點C出發，在BC邊上以每秒cm的速度向點B勻速運動，同時動點Q也從點C出發，沿C→A→B以每秒4cm的速度勻速運動，運動時間為t秒，連接PQ，以PQ為直徑作⊙O．

（1）當時，求△PCQ的面積；

（2）設⊙O的面積為s，求s與t的函數關系式；

（3）當點Q在AB上運動時，⊙O與Rt△ABC的一邊相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）t的值為或1或．

【解析】

（1）先根據t的值計算CQ和CP的長，由圖形可知△PCQ是直角三角形，根據三角形面積公式可得結論；

（2）分兩種情況：①當Q在邊AC上運動時，②當Q在邊AB上運動時；分別根據勾股定理計算PQ2，最后利用圓的面積公式可得S與t的關系式；

（3）分別當⊙O與BC相切時、當⊙O與AB相切時，當⊙O與AC相切時三種情況分類討論即可確定答案．

（1）當t=時，CQ=4t=4×=2，即此時Q與A重合，

CP=t=，

∵∠ACB=90°，

∴S△PCQ=CQPC=×2×=；

（2）分兩種情況：

①當Q在邊AC上運動時，0＜t≤2，如圖1，

由題意得：CQ=4t，CP=t，

由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，

∴S=π=；

②當Q在邊AB上運動時，2＜t＜4如圖2，

設⊙O與AB的另一個交點為D，連接PD，

∵CP=t，AC+AQ=4t，

∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，

∵PQ為⊙O的直徑，

∴∠PDQ=90°，

Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，

∴∠B=30°，

Rt△PDB中，PD=PB=，

∴BD=，

∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，

∴PQ==，

∴S=π==；

（3）分三種情況：

①當⊙O與AC相切時，如圖3，設切點為E，連接OE，過Q作QF⊥AC于F，

∴OE⊥AC，

∵AQ=4t﹣2，

Rt△AFQ中，∠AQF=30°，

∴AF=2t﹣1，

∴FQ=（2t﹣1），

∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，

∴EF=CE，

∴FQ+PC=2OE=PQ，

∴（2t﹣1）+t=，

解得：t=或﹣（舍）；

②當⊙O與BC相切時，如圖4，

此時PQ⊥BC，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=1；

③當⊙O與BA相切時，如圖5，

此時PQ⊥BA，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=，

綜上所述，t的值為或1或．