Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；

（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8；（3）EB⊥CD，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積．

（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

試題解析：（1）證明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△CDF中，

，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，

∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB=，

∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8．

（3）當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四邊形ABCD為菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BAD．