Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，于點E，CE的垂真平分線MV分別交AD、BC于M、N，交CE于O，連接CM、EM，下列結論：（1）（2）（3）（4）·其中正確的個數有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由平行四邊形性質可得AB∥CD，由線段垂直平分線性質可得ME=MC，再根據等角的余角相等可得①正確；②構造△AME≌△DMG（ASA），即可證明②正確；③利用平行四邊形性質、線段垂直平分線性質和AD=2AB可得四邊形CDMN是菱形，依據菱形性質即可證明③正確；④S△CDM=S菱形CDMN，S四邊形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；

解：延長EM交CD的延長線于G，如圖，

∵ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD
∴∠AEM=∠G
∵CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵MN垂直平分CE，
∴ME=MC
∴∠MEC=∠MCE
∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90°
∴∠DCM=∠G
∴∠AEM=∠DCM
故①正確；
∵∠DCM=∠G
∴MC=MG
∴ME=MG
∵∠AME=∠DMG
∴△AME≌△DMG（ASA）
∴AM=DM
故②正確；
∵ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC
∵CE⊥AB，MN⊥CE
∴AB∥MN∥CD
∴四邊形ABNM、四邊形CDMN均為平行四邊形
∴MN=AB
∵AM=MD=AD，AD=2AB
∴MD=CD=MN=NC
∴四邊形CDMN是菱形
∴∠BCD=2∠DCM，
故③正確；
設菱形ABNM的高為h，則S△CDM=S菱形CDMN，S四邊形BEON=（BE+ON）×h= ON×h
∵OM=（AE+CD）
∴CD＜OM＜AB
∴ON＜CD
∴S四邊形BEON＜CD×h=S菱形CDMN，
故④不一定成立；
故選：C．