Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交于點F，交過點C的切線于點D．

（1）求證：DC=DP；

（2）若∠CAB=30°，當F是的中點時，判斷以A，O，C，F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．

【解析】試題分析：（1）連接BC、OC，利用圓周角定理和切線的性質可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代換可得∠DPC=∠ACD，可證得結論；

（2）由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中點，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．

試題解析：（1）連接BC、OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，∵CD為切線，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；

（2）以A，O，C，F為頂點的四邊形是菱形．理由如下：

∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC為等邊三角形，∴∠AOC=120°，連接OF，AF，∵F是的中點，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF與△COF均為等邊三角形，∴AF=AO=OC=CF，∴四邊形OACF為菱形．