Question

【題目】如圖1，四邊形為正方形，點在軸上，點在軸上，且， ，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點．

（1）求點的坐標和反比例函數的關系式．

（2）如圖2，將正方形沿軸向右平移 個單位長度時，點恰好落在反比例函數的圖象．

（3）在（2）的情況下，連接并延長，交反比例函數的圖象于點，點是軸上的一個動點(不與點、重合)

①當點的坐標為多少時，四邊形是矩形?請說明理由．

②過點作軸于點，請問當點的坐標為多少時，與相似?(直接寫出答案)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）3；（3）①見解析；②的坐標為或或

【解析】

（1）過點作軸于點，由全等三角形的判定定理可得出，再由全等三角形的性質可求出的長，進而得出點坐標．把點坐標代入反比例函數即可得出其解析式；

（2）根據可知，再把代入反比例函數的解析式求出的值即可；

（3）①先根據點與點關于原點對稱，再根據勾股定理求出的長，由矩形的對角線相等即可得出點坐標；

②設，再根據與兩種情況進行分類討論．

解：（1）如圖1所示，過點作軸于點，則，

∵四邊形為正方形，

，，

，

又∵，

，

，

，，

，

點的坐標為．

將代入，得，解得，

反比例函數的關系式為：；

（2）∵，

，

當時，，

將正方形沿軸向右平移3個單位長度時，點恰好落在反比例函數的圖象上．

故答案為：3；

（3）①當點的坐標為時，四邊形是矩形．

理由如下：

∵由（2）知，，雙曲線上各點關于原點對稱，

∵點與點關于原點對稱，

，

，

又∵，

四邊形是平行四邊形，

又∵，

四邊形是矩形；

②∵，，

，

設，

當時，，即，

解得：或，

，或，；

當時，

∵，

，

，

故點的坐標為，或，或．