Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以點D為圓心、DC為半徑作 ，點E在AB上，且與A、B兩點均不重合，點M在AD上，且ME=MD，過點E作EF⊥ME，交BC于點F，連接DE、MF．

（1）求證：EF是 所在⊙D的切線；
（2）當MA= 時，求MF的長；
（3）試探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，請直接寫出MF的長度；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過點D作DG⊥EF于G，

∵ME=MD，

∴∠MDE=∠MED，

∵EF⊥ME，

∴∠DEM+∠GED=90°，

∵∠DAB=90°，

∴∠MDE+∠AED=90°，

∴∠AED=∠GED，

∵在△ADE和△GDE中，

，

∴△ADE≌△GDE（AAS），

∴AD=GD，

∵ 的半徑為DC，即AD的長度，

∴EF是 所在⊙D的切線；

（2）

MA= 時，ME=MD=2﹣ = ，

在Rt△AME中，AE= = =1，

∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1，

∵EF⊥ME，

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠B=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

又∵∠DAB=∠B=90°，

∴△AME∽△BEF，

∴ ，

即 ，

解得EF= ，

在Rt△MEF中，MF= ；

（3）

假設△MFE能是等腰直角三角形，

則ME=EF，

∵在△AME和△BEF中，

，

∴△AME≌△BEF（AAS），

∴MA=BE，

設AM=BE=x，

則MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x，

∵ME=MD，

∴ME=2﹣x，

∴ME=AE，

∵ME、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊，

∴ME≠AE，

∴假設不成立，

故△MFE不能是等腰直角三角形．

【解析】（1）過點D作DG⊥EF于G，根據等邊對等角可得∠MDE=∠MED，然后根據等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=GD，再根據切線的定義即可得證；（2）求出ME=MD= ，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根據同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式計算即可得解；（3）假設△MFE能是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得ME=EF，先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等，根據全等三角形對邊角相等可得AM=BE，設AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根據ME=MD，從而得到ME=AE，根據直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形．