Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點C，交AD與點E，CG⊥AD于點G．

（1）求證：GC是⊙F的切線；
（2）填空：①若△BCF的面積為15，則△BDA的面積為
②當∠GCD的度數為時，四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AD，FB=FC，

∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，

∴∠D=∠BCF，

∴CF∥AD，

∵CG⊥AD，

∴CG⊥CF，

∴GC是⊙F的切線

（2）60；30°
【解析】（2）解：①∵CF∥AD，
∴△BCF∽△BDA，
∴ = ，△BCF的面積：△BDA的面積=1：4，
∴△BDA的面積=4△BCF的面積=4×15=60；
所以答案是：60；
②當∠GCD的度數為30°時，四邊形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠B=60°，CF=BF= AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，CF= AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF= AB= AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∵CF=EF，
∴四邊形EFCD是菱形；
所以答案是：30°．