Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線

與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是上述拋物線上一點，如果△ABM和△ABC相似，求點M的坐標；

（3）連接AC，求頂點D、E、F、G在△ABC各邊上的矩形DEFC面積最大時，寫出該矩形在AB邊上的頂點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（3，-2）；（3）D(，0)或D(－，0)、E(2，0)

【解析】試題分析：(1)先求得直線與x軸交于點B與y軸交于點C的坐標，再把點B的坐標代入，求得b值，即可得拋物線的解析式；（2）先判定△ABC為直角三角形，當△ABM和△ABC相似時，一定有∠AMB=90° ，△BAM≌△ABC，即可得點M的坐標；（3）分矩形DEFG有兩個頂點D、E在AB上和矩形一個頂點在AB上兩種情況求點的坐標.

試題解析：

(1) 由題意：直線與x軸交于點B（4,0），

與y軸交于點C點C（0，-2），

將點B（4,0）代入拋物線易得

∴所求拋物線解析式為：

(2) ∵, ∴△ABC為直角三角形，∠BCA=90°

∵點M是上述拋物線上一點∴不可能有MB與AB或者MA與AB垂直

當△ABM和△ABC相似時，一定有∠AMB=90° △BAM≌△ABC

此時點M的坐標為：M（3，-2）

(3)∵△ABC為直角三角形，

∠BCA=90°

當矩形DEFG只有頂點D

在AB上時，顯然點F與點

C重合時面積最大，如圖1，

設CG＝x，

∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB.

∴AG：AC＝DG∶BC，即∴DG＝2(－x)

∴S矩形DEFG＝－2(x－)＋ 即x＝時矩形DEFG的面積有最大值 (2－x)．

∴S矩形DEFG＝x· (2－x)＝－ (x－1)2＋，即當x＝1時矩形DEFG的面積同樣有最大值，

綜上所述，無論矩形DEFG有兩個頂點或只有一個頂點在AB上，其最大面積相同

當矩形一個頂點在AB上時， GD＝2(－x)＝，AG＝，

∴AD＝， OD＝AD－OA＝， ∴D(，0)．

當矩形DEFG有兩個頂點D、E在AB上時，∵DG＝1， ∴DE＝，

∵DG∥OC，∴△ADG∽△AOC，∴AD∶AO＝DG∶OC，解得AD＝，

∴OD＝， OE＝－＝2， ∴D(－，0)，E(2，0)．

綜上所述，滿足題意的矩形在AB邊上的頂點的坐標為D(，0)或D(－，0)、E(2，0) ．