Question

（2011•巴中）已知如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABC0為梯形，BC∥A0，四個頂點坐標分別為A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，O）．一動點P從O出發以每秒1個單位長度的速度沿OA的方向向A運動；同時，動點Q從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿A→B→C的方向向C運動．兩個動點若其中一個到達終點，另一個也隨之停止．設其運動時間為t秒．
（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，PB與AQ互相平分；
（3）連接PQ，設△PAQ的面積為S，探索S與t的函數關系式．求t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）設出拋物線的解析式，運用待定系數法可以直接求出拋物線的解析式．
（2）根據PB與AQ互相平分可以得出四邊形BQPA是平行四邊形，得出QB=PA建立等量關系可以求出t值．
（3）是一道分段函數，分為Q點在AB上和在BC上根據三角形的面積公式表示出S于t的關系式就可以求出其答案．

解答：答案：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），代入A、B、C三點，得

16a+4b+c=0 a+b+c=4 c=4

解得：

a=- 1 3 b= 1 3 c=4

∴y=-

1

3

x2+

1

3

x+4．

（2）∵使得PB與AQ互相平分，
∴四邊形BQPA是平行四邊形，
∴BQ=PA，
∴2t-5=4-t，
解得：t=3．


（3）由已知得AB=5，CB=1．
①當0＜t＜

5

2

時，點Q在線段AB上運動，
設P（x_P，0），Q（x_Q，y_Q），∠OAB=θ，sinθ=

4

5

，
∴S△PAQ=

1

2

•yQ•(4-xp)，
∵yQ=2t•sinθ=

8

5

t，xP=t，
∴S△PAQ=

1

2

•

8

5

t•(4-t)=

4

5

(4t-t2)，
∴當t=2時，S_△PAQ有最大值為

16

5

．
②當

5

2

≤t≤3時，點Q在線段BC上運動，則S△PAQ=

1

2

•4•(4-t)=8-2t
∴當t=

5

2

時，S_△PAQ有最大值為3．
∴綜上所述，當t=2時，S_△PAQ有最大值為

16

5

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了二次函數的最值，待定系數法求函數的解析式，三角形的面積的運用．