Question

【題目】已知：二次函數y=2x2+4x+m﹣1，與x軸的公共點為A，B．
（1）如果A與B重合，求m的值；
（2）橫、縱坐標都是整數的點叫做整點； ①當m=1時，求線段AB上整點的個數；
②若設拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）整點的個數為n，當1＜n＜8時，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A與B重合，

∴二次函數y=2x2+4x+m﹣1的圖象與x軸只有一個公共點，

∴方程2x2+4x+m﹣1=0有兩個相等的實數根，

∴△=42﹣4×2（m﹣1）=24﹣8m=0，

解得：m=3．

∴如果A與B重合，m的值為3．

（2）解：①當m=1時，原二次函數為y=2x2+4x+m﹣1=2x2+4x，

令y=2x2+4x=0，則x1=0，x2=﹣2，

∴線段AB上的整點有（﹣2，0）、（﹣1，0）和（0，0）．

故當m=1時，線段AB上整點的個數有3個．

②由點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）可用以下不等式表示

如圖，

對于二次函數y=2x2+4x+m﹣1，可知對稱軸x=﹣1，

∵拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區域內（包括邊界）整點的個數為n，且1＜n＜8，

∴x=0時，y≤0；x=3時，y＞0；

則有 ，

解得：﹣29＜m≤1．

【解析】（1）當A、B重合時，拋物線與x軸只有一個交點，此時△=0，從可求出m的值．（2）①m=1代入拋物線解析式，然后求出該拋物線與x軸的兩個交點的坐標，從而可求出線段AB上的整點；②根據二次函數表達式可以用帶m表達出兩根之差，根據1＜兩根之差＜8，即可解題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．