Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數表達式為y=﹣x2+x+4．拋物線W與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點D，直線l經過C、D兩點．

(1)求A、B兩點的坐標及直線l的函數表達式．

(2)將拋物線W沿x軸向右平移得到拋物線W′，設拋物線W′的對稱軸與直線l交于點F，當△ACF為直角三角形時，求點F的坐標，并直接寫出此時拋物線W′的函數表達式．

(3)如圖2，連接AC，CB，將△ACD沿x軸向右平移m個單位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．設A′C交直線l于點M，C′D′交CB于點N，連接CC′，MN．求四邊形CMNC′的面積（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（7，0），y=﹣2x+4；(2) 點F的坐標為（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四邊形CMNC′的面積為m2.

【解析】

根據拋物線的解析式，令y＝0即可求出兩點的坐標.根據拋物線的解析式可分別求出C，D兩點的坐標，再用待定系數法即可求出直線的表達式.

根據題意，利用角的等量關系可以得到∠1＝∠3，進而得到tan∠1＝tan∠3，根據三角函數的計算方法列出等式，根據一次函數的解析式設點的坐標為（xF，﹣2xF＋4），將各線段的長度代入等式即可求出點F的坐標，再根據平移的法則即可求出w′的表達式.

根據平移，可以得到點C′，A′，D′的坐標，再根據待定系數法可以得到直線A′C′，BC，C′D′的解析式，根據交點的計算方法列方程組可以求得點M，N的坐標，根據平移的定義和平行四邊形的定義可知四邊形CMNC′是平行四邊形，再根據平行四邊形面積的計算方法可以得到平行四邊形CMNC′的面積.

（1）當y＝0時，﹣x2＋＋4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝7，

∴點A坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（7，0）．

∵﹣＝

∴拋物線w的對稱軸為直線x＝2，

∴點D坐標為（2，0）．

當x＝0時，y＝4，

∴點C的坐標為（0，4）．

設直線l的表達式為y＝kx＋b，

解得

∴直線l的解析式為y＝﹣2x＋4；

(2)∵拋物線w向右平移，只有一種情況符合要求，

即∠FAC＝90°，如圖.

此時拋物線w′的對稱軸與x軸的交點為G，

∵∠1＋∠2＝90°∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴tan∠1＝tan∠3，

∴=．設點F的坐標為（xF，﹣2xF＋4），

∴＝，解得xF＝5，﹣2xF＋4＝﹣6，

∴點F的坐標為（5，﹣6），此時拋物線w′的函數表達式為y＝﹣x2＋x；

(3)由平移可得：點C′，點A′，點D′的坐標分別為C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x軸，C′D′∥CD，

可用待定系數法求得

直線A′C′的表達式為y＝x＋4﹣m，

直線BC的表達式為y＝﹣x＋4，

直線C′D′的表達式為y＝﹣2x＋2m＋4，

分別解方程組和

解得和

∴點M的坐標為（m，﹣m＋4），點N的坐標為（m，﹣ m＋4），

∴yM＝yN

∴MN∥x軸，

∵CC′∥x軸，

∴CC′∥MN．

∵C′D′∥CD，

∴四邊形CMNC′是平行四邊形，

∴S＝m[4﹣（﹣m＋4）]

＝m2