Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點(diǎn)為M，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與x軸另一交點(diǎn)為A．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式；
（3）現(xiàn)將拋物線C1繞著點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C2 ， 若拋物線C2的頂點(diǎn)為N，當(dāng)b=1，且頂點(diǎn)N在拋物線C1上時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，

∴0=4a+b，

∴當(dāng)ax2+4ax+4a+b=0時(shí)，則ax2+4ax=0，

解得：x=0或﹣4，

∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)A坐標(biāo)是（﹣4，0）

（2）

解：∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如圖1）

∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，b），

∵△AMO為等腰直角三角形，

∴b=2，

∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過(guò)原點(diǎn)，

∴a（0+2）2+2=0，

解得：a=﹣ ，

∴拋物線C1：y=﹣ x2﹣2x

（3）

解：∵b=1，拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過(guò)原點(diǎn)，（如圖2）

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+2）2+1=﹣ x2﹣x，

設(shè)N（n，﹣1），又因?yàn)辄c(diǎn)P（m，0），

∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2

即點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2m+2，﹣1），

∵頂點(diǎn)N在拋物線C1上，

∴﹣1=﹣ （2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+ 或﹣2﹣

【解析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí)，y=0，由此可得關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點(diǎn)為M，可求出b的值，再把原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C1的解析式；（3）由b=1，易求線拋物線C1的解析式，設(shè)N（n，﹣1），再由點(diǎn)P（m，0）可求出n和m的關(guān)系，當(dāng)頂點(diǎn)N在拋物線C1上可把N的坐標(biāo)代入拋物線即可求出m的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°，以及對(duì)二次函數(shù)的圖象的理解，了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．