Question

【題目】如圖，直徑AE平分弦CD，交CD于點G，EF∥CD，交AD的延長線于F，AP⊥AC交CD的延長線于點P．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AC=2，PD= CD，求tan∠P的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵直徑AE平分弦CD，

∴AG⊥CD（垂徑定理）．

∵EF∥CD（已知），

∴∠AEF=∠AGD=90°．

∴EF是⊙O的切線．

（2）∵∠CAP=∠AGC=90°，∠ACG=∠PCA．

∴△CAG∽△CPA（AA）．

∴AC2=CGCP（相似三角形的對應邊成比例）．

又∵PD= CD（已知），

CG=GD，

∴CG= PC．而AC=2，

∴22= PCPC，∴PC2=12．

又∵AC⊥AP，∴AP2=PC2﹣AC2（勾股定理），

∴AP= ．（13分）

∴tan∠P= ．

【解析】（1）要證EF是⊙O的切線，只需證明∠AEF=90°即可.（2）首先利用相似三角形判定定理證明△CAG∽△CPA，利用性質：對應邊成比例，得到AC2=CGCP，求得PC2=12，在直角三角形APC中利用勾股定理求得AP的長度，進而利用三角函數的定義求tan∠P的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．