Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，E是弧BC的中點，OE交弦BC于點D，點F為OE的延長線上一點且OC2=OD·OF.

（1）求證：CF為⊙O的切線.

（2）已知DE=2， .

①求⊙O的半徑；②求sin∠BAD的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①5②

【解析】試題分析：（1）連接OC，利用同圓的半徑相等和直徑所對的圓周角為直角，得∠OCF=90°，CF是 O的切線；（2）①設 O的半徑為r，根據勾股定理列方程解出即可；②過點D作DG⊥OB,利用勾股定理分別求出DG,AG，即可求出sin∠BAD的值.

試題解析：

（1），∠COD是公共角

∴△COD∽△COF，

∴∠F=∠OCD，

又E是弧BC的中點，

∴∠COE=∠BOE，

∵OC=OB，

∴OD⊥BC

∴OD⊥BC，

∴CF為⊙O的切線.

（2）①，設BC=4x，

則AC=3x，AB=5x，OE=2.5x，

OD=1.5x，DE=x=2，2.5x=2.5；

∴⊙O的半徑為5；

②作DG⊥OB于G，Rt△BOD中，DG=OD×BD÷OB，

∴DG=3×4÷5=，

Rt△ACD中，AC=6，AB=4，

∴AD=；

Rt△AGD中，sin∠BAD=DG÷AD=